1、基本思路與方法
作者在從事飛機翼面結構設計工作中，曾遇到過兩種飛機，他們的水平尾翼( 包括轉軸) 的面積之比和氣動力之比分別為32 和 95，結構均為金屬材料，材料性能基本相當，而結構質量前者比後者還輕 9kg。其中的重要原因之一是結構佈局形式不同引起的。分析發現: 它們具有根本不同的傳力方式與傳力路線。而這兩種結構佈局形式到目前為止還無法通過拓撲優化來得到或者相互轉化。
借鑑上述問題可知: 傳力路徑在結構設計中佔有重要地位。從本質上説，對於連續體結構拓撲優化，無論是質量還是柔順性為目標函數，其最優結果是尋找最佳傳力路徑和材料的最佳剛度分佈。一般來講，結構最優拓撲應該反映出承力構件的個數和它們彼此之間的連接關係，而連接點的位置以及承力構件的尺寸參數則應該由幾何和尺寸優化來解決。
對於連續體結構，作者提出通過一次有限元分析，找出結構的傳力路線，並由該傳力路線確定其拓撲結構形式。這裏用桁架描述拓撲中的構件多少與連接關係，最後用幾何和尺寸優化來確定構件的位置和尺寸參數，從而達到結構優化設計的目的。具體來説，將連續體結構建立有限元模型，並令其單元等厚度，進行一次結構分析,將各個剖面處力流( 對應 Von Mises 應力) 最大的單元留下，其餘的單元刪除，把所形成的結構形式看作是基於力流的拓撲結構，在該拓撲形式下建立位置和尺寸優化模型，並將最終的優化作為結構優化設計結果。
2、算例
為檢驗本文提出的方法是否有效，這裏選用兩個經典例題。
例 1 已知: 材料楊氏模量 E = 20 000kg / mm2，密度 = 7 8 g / cm3，載荷 P = 10 000kg ，位移約束 uc= 5 mm 。幾何尺寸、邊界條件和加載點。
利用 SAMCEF 有限元分析平台的前置處理模塊所建立的模型見圖 2; 由 SAMCEF 進行一次結構分析所得應力雲圖( 由於單元為等厚度的膜元，這裏 t = 1 mm，所以可看作內力流雲圖) 見圖 3; 由內力流雲圖可以容易得到基於傳力路徑的拓撲結構。
利用 SAMCEF 有限元分析平台的前置處理模塊所建立的模型見圖 2; 由 SAMCEF 進行一次結構分析所得應力雲圖( 由於單元為等厚度膜元,這裏 t = 1 mm，所以可看作內力流雲圖) 見圖 6;由內力流雲圖可以容易得到基於傳力路徑的拓撲結構。
在圖 7 拓撲形式下，建立幾何位 置( D 點和F 點的座標，D 點和 E 點對稱) 和尺寸( 8 根杆的截面積，上下兩兩對稱) 的優化模型。
3、討論
為了對比優化結果，這裏以枚舉的方式給出幾種不同的拓撲結構，並對它們逐一進行優化計算，用以檢驗本文方法的`效果。
針對例 1 情況，給出另外 3 種不同的拓撲結構，它們分別是二杆、四杆和八杆結構，具體的公式推導這裏省略，仍然採用 MAT LAB 6 1 優化工具箱進行優化，所得的最優結果對應見表 3表 4 與表 5 和圖 9、圖 10與圖 11。
( 1) 對於每一種拓撲結構，優化後的設計變量值均在變量的上、下界之間，這表示所給出的方案均對於形狀和尺寸是最優的( 二杆結構例外，因為它沒有位置變量) ; ( 2) 與基於力流的拓撲結構承力杆件數相比，枚舉的拓撲結構承力杆件數有多有少。綜合上述兩點，這樣進行結果對比是比較合理的。
由表 1、表 3 ~ 表 5 的數據可以看到: 基於力流的拓撲結構方案( 六杆結構) 基本上是最輕的，無論減少還是增加承力杆件數從質量角度上，已經沒有什麼好處。另外，結合圖 11 和表 5可以得知: 杆 EF 和杆FA 基本上是共線的，杆FB 的剖面積很小，從傳力概念上這也説明杆 FB的作用十分小。
觀察圖 5 與圖 11，如果將杆 FB 去掉，並將杆EF 和杆FA 合併為一根承力杆，那麼圖5 的結構形狀與圖 11 的是非常接近的。這從另一角度説明杆 FB 是 & 多餘 的。
針對例 2 情況，給出另外 3 種不同的拓撲結構，它們分別是二杆、五杆和六杆結構，具體的公式推導這裏省略，仍然採用 MAT LAB 6 1 優化工具箱進行優化，所得的最優結果對應見表 6、表 7 和圖 12圖 13 與圖 14。同時，給出參考文獻的算例及其優化結果作為本文的又一枚舉拓撲結構，其基結構為十八杆的杆繫結構，見圖15，文獻中採用遺傳算法，最終的最佳拓撲結構。
對於五杆結構，如圖 13 所示，利用對稱性，經分析容易知道: 杆 CD、杆 DA 和杆DB 均為零力杆。所以，它等價於二杆結構，經過優化後,各變量有關信息。結構關於 X 軸上下對稱。( 1) 對於每一種拓撲結構，優化後的設計變量值均在變量的上、下界之間，這表示所給出的方案均對於形狀和尺寸是最優的( 二杆結構例外，因為它沒有位置變量) ; ( 2) 與基於力流的拓撲結構承力杆件數相比，枚舉的拓撲結構( 包括參考文獻的十八杆基結構) 承力杆件數有多有少。綜合上述兩點,這樣進行結果對比是比較合理的。
由表 2、表 6 和表 7 的數據以及結合參考文獻 的十八杆基結構的拓撲優化結果 ，可以看到: 基於力流的拓撲結構方案( 八杆結構) 基本上是最輕的，無論減少還是增加承力杆件數從質量角度上，已經沒有什麼好處。
綜合例 1 和例 2 的優化結果以及有關圖形,説明本文提出的方法是有效的，能夠滿足工程上的要求。同時，本文利用 SAMCEF 有限元分析軟件對所有優化結果進行了數值校核，保證了計算結果的正確性。
4、結論
( 1) 算例結果表明: 本文提出的方法是有效和簡潔的。
( 2) 本文提出的方法與工程師的設計與分析方法相一致。
( 3) 本文提出的方法易於被結構工程師所接受。
參考文獻:
[1] G. D. Cheng，Z. Jiang. Study on Topology Optimization with Stress Constraints. Eng Opt ，1992，20: 129~ 148.
[2] R. J. Yang，C. H. Chuang. Optimal Topology Design Using Linear Programming. Computers & Structures，1994，52( 2) : 265~ 275.
[3] R. J. Yang，A. I. Chahande. Automotive Applications with Stress Constraints. Structural Optimization，1995，9: 245 ~249.
[ 4] 周克民，胡云昌. 利用變密度單元進行平面連續體的拓撲優化. 天津: 天津城市建設學院學報，2001，7 ( 1) : 33~ 35.
[ 5] 程耿東 關於桁架結構拓撲優化中的奇異最優解 大連理工大學學報，2000，40 ( 4) : 379~ 383.