一,數學方法的培養
如何加強數學方法的培養,我認爲應做到以下幾點:
(一)教師從思想上重視數學方法的培養.
在備課時把它與數學知識一同納入教學目的,既要注意數學知識的學習,又要注意數學方法的培養.數學知識,如概念,定理,公式,都明顯地寫在教科書上,不會被人忽視,而數學方法是無形的東西,容易被忽視.這就需要教師在備課時注意有關的數學方法,留意從知識中發掘,提煉出數學方法並明確地告訴學生,闡述方法的作用,引起學生思想上的重視.
例如在講到函數應用時,教師不能只滿足教學生解出題目結果,而應在解題中教給學生建立數學模型的方法及其目的,意義,並在整個解題過程中培養學生的分析,綜合,比較,抽象,洞察等多項能力.我們來看下面一道例題.
【例1】某人有5000元存入銀行,準備x年後才取出使用.它有兩種方式可供選用
(1)存x年期定期儲蓄,當時年利率6.66%,單利計息.
(2)一年期定期儲蓄,當時年利率5.22%,到期把利息轉入本金一併續存,這樣反覆進行,x年後結算,即複利計息(假定x年內利率不變).
試比較哪種方法在x年後結算時的本利和要高並求出5年後的本利和.
解:從本題可以看出隨着年數的增加,本利和也將不斷增加,這樣就確定了一種函數的關係,即:年數是自變量,本利和是因變量.
我們設年數爲x,設本利和爲y.
(1)本金5000元,單利計息x年後的本利和:
y=5000(1+6.66%x)
(2)複利計息各年本利和分別爲:
x年後的本利和爲:.
這種對實際問題捨去其具體內容,從中抽象出數量關係的方法就屬於"建立數學模型"的方法.其中(1)建立的數學模型爲一次函數模型;(2)建立的數學模型爲指數函數模型.這樣再解決x年後的本利和的計算問題就十分清楚了.
我們要將兩種計息方法進行比較,分別計算5年後的本利和:
當x=5時,代入一次函數中,y=6665(元).
當x=5時,代入指數函數中,y=6448.54(元).
分析比較結果發現,單利計息的本利和要高出複利計息的本利和.這樣,我們又通過不同的數學模型對現實的問題進行了解釋,達到了解決問題的目的.
最後給出學生解決此類問題的方法,以此題爲例,解決單利,複利計息問題的思路框圖是:
數學抽象
(轉化爲數學問題)
數學證明
實際解釋
(返回)
又如下題:
求:
解:要消去被積函數中的根式,可以利用三角公式:
設,
那麼
於是,通過變量代換可將被積函數轉化成變量t的表達式,即
=
由於所以
利用輔助直角三角形,可得,
所以,
恆等變換不僅在初等數學中有重要作用,在高等數學中也有重要意義.在解題中逐漸滲透恆等變換的數學方法,使學生掌握將複雜問題通過變換轉化成簡單的問題,將難的問題通過變換轉化成容易的問題的數學方法.而冪級數變換,拉普拉斯變換等也都是符合這種基本思想方法的.
在教學過程中,每當遇到這類情形時,教師就應盡力提煉出解決的思想實質,不失時機地告訴學生,使其思路開闊,胸懷全局,不把眼光只侷限於枝節的,具體的變換技巧和運算過程.
數學方法不只是證題的技巧性的方法,還要留意那些思考問題的帶有一般性的認識論的方法.例如,從特殊到一般,先具體後抽象,先簡單後複雜,局部與整體相連繫等,把這些思想貫穿於日常的教學中,使其日漸薰陶,理解體會.這樣,就會逐漸使學生能站在較高的地位上考慮問題.
(二)在解題的過程中多采用對比的手法以顯示方法的優越性.
對比最具說服力,能明顯地顯示出一種巧妙方法地優越性,並能給學生思想上留下較深的記憶痕跡.
例如:證明,對於任意的正數x,y,z,總有
證明:如果直接去證則難度較大.但若用換元法,令
則原題變爲:"如果a+b+c=0,則ab+bc+ca"
由於,所以
從而使原題得證.
又如:求拋物線上與焦點的距離等於6的點的座標.
解:對此題,大部分學生會想到設點的座標爲(x,y),據題意列出一個二元二次方程組,在去解出x,y的值.這樣做運算複雜,容易出錯.如果應用數形轉化的思想方法,藉助於拋物線的圖象,在根據拋物線的定義,就會想到拋物線上任意點到焦點的距離與它到準線的距離相等,這樣,就得到所求點的橫座標爲,再代入拋物線方程,這樣就可以求出縱座標爲,則這個點的座標爲.
通過解題方法的對比,可起到示範的作用,使學生看到靈活運用適當的數學方法的優越性,從而引起自覺的注意.同時,教師應當引導學生進行回憶,一方面可以顯示方法的作用,另一方面更可使其從聯繫,對比中學會更靈活地運用這種方法.
(三)對不同類型的數學方法應有不同的教學要求並採用不同的教學方法.
對邏輯性的數學方法,應着重講清邏輯結構,要求正確使用邏輯推理形式;對容易混淆的地方,如某些命題的否定,某些命題成立的充分條件,必要條件的表述與判定,要反覆強調,並用通俗的例子來闡述;對技巧性的數學方法,則應注重培養運用方法的技巧,注意擴大應用方法的範圍;對宏觀的數學方法,如座標方法,公理方法,應着重理解其思想實質,認識到它們的重要作用.
(四)注意各種數學方法的綜合運用.
一道較複雜的數學問題,常需在解決的不同階段使用不同的數學方法,各種方法的綜合運用,有利於數學能力的提高.
例如:證明
此題使用了放縮法和裂項法.象這樣聯合使用多種的數學方法,不但會起到鞏固,熟練使用方法的作用,更重要的是培養了學生的數學能力.
二,數學思維的培養
數學方法在教學中經常用到,學生易於接受,而數學思維是一個比較抽象的概念,下面我們來了解以下有關數學思維的知識.
(一)數學思維及其性質
1,數學思維
思維是人的理性認識過程.所謂數學思維,是指人關於數學對象的理性認識過程,廣義可理解爲,包括應用數學工具解決各種實際問題的思考過程.
數學思維與其他思維的區別在於數學科學研究的對象及數學科學的研究方法.數學研究的對象是數量關係與空間形式,而把事物的其他屬性看作是無足輕重的.數量關係是抽象,概括的產物.數學所討論的空間形式也是以現實對象爲基礎加以理想化的結果.更深一步,人們還可以脫離開具體的幾何形象,只是從它們的相互關係極其性質中去認識空間形式.
2,創造性數學思維
所謂創造性思維,是指思維的結果或處理問題的方法帶有新穎性,獨特性.這種思維並非一開始就建立在嚴格的邏輯論證之上.
從思維過程的狀態來看,創造性思維從總體上總是表現爲:
發散以便於聯想,尋找各種知識組塊之間的可能的組合,發現推理的起點.收斂以便於集中思考,驗證由發散思維所得到的方案的可行性,對其補充,修正或提出新的方案.
3,數學思維的性質
(1)抽象性.數學思維的抽象性,是指數學思維的對象與方法而言的.數學思維的'對象是事物之間的數量關係或理想化了的空間形式,而它們又不是停留在一次抽象的結果上,通常都是經過多次抽象而形成,呈現爲形式化的東西.要認識這些形式化的東西,只有在與別的已經形式化的東西的聯繫中去認識.數學思維的方法在很大程度上是實現形式的轉化,用新的等價形式或更強的形式代替原有形式,而這些轉化出的形式又要是已掌握的形式.正是基於這兩種原因,使數學思維抽象化.
(2)嚴謹性.數學思維的嚴謹性是指思維的依據而言.
(3)統一性.數學思維的統一性是指思維的宏觀發展方向而言的.數學科學的研究,總是謀求用統一的理論概括零碎的事實,這樣既便於簡化研究,又能洞察到事物或現象的本質.例如:線型算子把微分,積分及各種線性運算統一起來.
(二)數學思維的培養
既然數學知識是數學思維活動昇華的結果,那麼,整個數學教學過程就是數學思維活動的過程.因此,如何通過數學教學自覺地培養學生的數學思維就成爲值得探討的重要課題.
1,通過概念的教學培養數學思維.
數學概念的教學,首先要認識概念引入的必要性,創設思維情境及對感性材料進行分析,抽象,概括.此時,如果教師能結合有關數學史談其必要性,將是培養學生創造性思維的大好時機.比如,爲什麼將實數域擴充到複數域,擴充的辦法爲什麼是這樣,這樣做的合理性在什麼地方,又是如何想出來的等等.也就是說,數學概念教學的任務,不僅要解決"是什麼"的問題,更重要的是"是怎樣想到的"問題,以及有了這個概念之後,在此基礎上又是如何建立和發展理論的問題.即首先要將概念的來龍去脈和歷史背景講清楚.其次,就是對概念的理解過程.這一過程是複雜的數學思維活動的過程.教師不僅應激發學生的學習動機,還要進一步引導學生對概念的定義的結構進行分析,明確概念的內涵和外延,在此基礎上再啓發學生歸納概括出幾條基本性質,應用範圍以及利用概念進行判斷等.總之,要從概念的形成過程中,既培養學生創造性的思維能力,又使他們學到科學的研究方法.
綜上所述,數學概念的教學,從引入,理解,深化,應用等各個階段都伴隨着重要的創造性思維活動過程,因此都能達到培養學生數學思維的目的.
2,在數學定理的證明過程中培養學生的數學思維
數學定理的證明過程就是尋求,發現和做出證明的思維過程.數學定理,公式反映了數學對象的屬性之間的關係.關於這些關係的認識,一方面,要儘量創造條件,從感性認識和學生的已有知識入手,以調動學生學習定理,公式的積極性,讓學生了解定理,公式的形成過程,並要設法使學生體會到尋求真理的樂趣.另一方面,定理一般是在觀察的基礎上,通過分析,比較,歸納,類比,想象,概括成抽象的命題.這是一個思考,估計,猜想的思維過程.定理的結論最好由教師引導學生獨立完成,這樣既有利於學生創造性思維的訓練,也有利於學生分清定理的條件和結論,從而對進一步做出嚴格的論證奠定基礎.
定理和公式的證明是數學教學的重點,因爲它承擔着雙重任務,一是它的證明方法一般具有典型性,學生掌握了這些方法後可達到舉一反三的目的,二是通過定理的證明發展了學生的創造性思維.
綜上所述,只有強化數學思維和數學方法的培養,纔有利於提高學生運用數學知識解決實際問題的能力,有利於激發學生的學習興趣,有利於提高學生的學習積極性和自覺性,更好地達到和完成學校教育的任務.
參考數目:
徐利治:《數學方法論選講》,華中工學院出版社.
錢學森:《關於思維科學》,上海人民出版社.
數學模型:函數.
一次函數與指數