【摘要 】 如何發展學生的聯想能力是一個數學教師必須努力實踐與思考的重要問題。本文針對“發展學生聯想能力”的實踐從幾個方面：相似聯想、接近聯想、對比聯想、因果聯想進行了分析，以及培養學生聯想能力的做法和體會。通過具體實例闡述發展學生聯想能力的必要性和運用聯想解決問題的方法。
關鍵詞 ：形似聯想 、接近聯想、對比聯想
一、問題提出
自古以來，我國的教育家對培養學生思維能力就很重視，如孔子說：“學而不思則罔，思而不學則殆”、“參乎，吾道一以貫之”，其中“一以貫之”就是融會貫通、舉一反三。錢學森也指出：“思維科學是教育科學的核心問題”。隨着教改的深入，人們越來越清楚地認識到數學教育之培養能力的重要性。這裏的能力，核心是數學思維能力，而聯想能力是數學思維能力的重要組成部分。這一切都要求教師在數學教學中加強對學生聯想能力的培養和訓練。但不是所謂的題海戰術，有些教師深信熟能生巧，並採用這一原理來指導學生學習，事實證明：大量數學習題訓練和經常性測驗考試僅能提高學生成績，並不能培養學生思維能力，大量習題造成：學生機械地作業，及老師沒有講過的不敢想，沒有做過的不敢做的現象。我們應要求學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，加強學生聯想能力等思維能力的培養。
二、聯想的理論基礎
聯想能力是一種多因素的綜合性能力，聯想思維是聯想能力的核心。
心理學家把人們的認識過程一般分爲爲感知、理解、鞏固、應用四個基本階段。感知是認識新知識的起點，理解是認識過程的中心，鞏固是暫時聯繫的加強，應用是認識的繼續和深入，也是認識的最終目的。人們以感性認識爲基礎，上升爲思維，可以把外形、品質不同但本質相同的事物，歸納爲一類。還可以認識到存在於自然界植物、動物之間的生態平衡關係，達爾文的《生物進化論》是人們由感性認識上升到思維的產物。而學生的學生過程與人們的認識過程也是一致的，例如學生在學習了兩數和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2之後，就可以透過這一形式表達式，瞭解實質含義，這就是思維過程。聯想思維屬於思維範疇，具有思維的一般特點。
從心理學方面來考察，聯想是由一事物想到另一事物的心理過程，也是記憶的再現過程。一般地說，記憶經過一段時間會變得模糊、散亂，甚至“消失”。但暫時“消失”的記憶受當前事物的刺激會再現出來，把當前事物與過去的事物有機聯繫起來。起這種作用的.主要是聯想 ，聯想 可以喚醒沉睡的記憶，產生新觀念。
聯想是人們正常的思維活動，平常的聯想往往是自發的，有隨意性，不見得有什麼意義，並且大多數處於散漫無序的狀態，但在學習中，聯想卻是思考問題、解決問題的出發點。波利亞解題思想也離不開聯想，波利亞說，在解題活動中我們要設法“預測到解，或解的某些特徵，或某一條通向它的小路”。“回憶起某些有用的東西，把有關知識動員起來”。而這種預測就離不開聯想，如果在思考問題時通過聯想產生這種預見，我們把它稱爲有啓發性的想法或靈感。波利亞稱想出一個好念頭是一種靈感活動，也是一種聯想思維過程。聯想不僅讓人能運用舊知識解決新問題，同時會引導人們去探索未知的世界，聯想產生創造，飛機、潛艇的發明就是從鳥的飛翔、魚的沉浮，經過聯想 反覆試驗而獲得的，一個人聯想豐富，這個人會被認爲聰明、點子多、反應快。據不完全統計，大約有70%以上的人愛聯想。學生在學習過程和解題過程如果愛聯想即稱爲愛動腦筋，那麼他們接受知識比較快，運用知識之間的聯繫解題也較快。當然聯想能力與學生的知識是聯繫在一起的，知識較豐富，聯想能力自然就強、聯想的範圍也廣闊。
從一定意義上講，在平時的數學教學中，我們要鼓勵學生將所學的知識與未解決的問題聯繫起來，展開合理、恰當、有效的聯想。如求函數y= 的值域。若聯想到斜率K= ,則y= 可看作是點（2，-1）與圓x2+y2=1上的點（cosx，sinx）連線的斜率，這樣利用數形結合思想，可解出此題。若聯想到asinx+bcosx= sin(x+φ) 的形式也可解出。斜率公式 K= ,距離公式d= ,三角等式 =tan(x+ ),對數運算法則等重要公式在具體問題的解決中均有重要的指導作用。
總之，一個人具有了聯想思維和聯想能力，解決問題時會更敏銳，更靈活，更有創造性。
三、聯想的類型
聯想主要有以下幾種類型。
(一)形似聯想
形似聯想也稱相似聯想或類比聯想，就是指事物某種屬性的相似性。
由於事物之間具有相同或相似的屬性，我們可以由一個事物已知的特殊性質聯想到另一事物的特殊性質。在日常生活中，人們很容易由江河想到湖海，由樹木想到森林等，就是因爲這些事物具有相似之處。開普勒說：“我珍視類比勝於任何別的東西，它總是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的祕密，在幾何學中它應該是最不容忽視的。”波利亞說過“類比是偉大的引路人”。
在解題過程中爲了尋找問題的解
決線索，往往藉助於類比聯想，以達到啓發思路的目的，因此，類比聯想在求解問題中有着廣泛的應用。在解題教學中採用類比教學，可以達到梳理知識、歸納題型、總結解題方法，這樣做既有利於學生記憶和掌握所學知識，又有利於培養學生聯想思維的靈活性。
例1． 求證：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0則x,y,z成等差數列。
：觀察已知條件的外形，可聯想到一元二次方程的根的判別式
△ =b2-4ac非常相似，則類比題設可以構造一個一元二次方程來求解。於是我們可把已知條件看作是t的二次方程 （x-y）t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件。
再次觀察還可以發現方程左邊的係數之和爲零，故方程有兩個根爲1，於是由韋達定理得：t1t2= =1
說明，由本例可見，一般的類比聯想解決問題線索爲：觀察——類比——聯想。
例2． x R,求函數y= + 的最小值.
：求這樣的無理函數的最值，用代數法直接求解較難，可由條件聯想到距離公式，作如下變形：
y= +
設p(x,0),A(-1,-1),B(2,2)如圖1所示，
於是求y的最小值轉化爲求x軸上一點p，
使 ︱PA︱+︱PB︱最小顯然是︱PA︱+︱PB︱≥︱AB︱=3
∴當x=0時,y =3
說明由“數”到“形”的類比聯想，獲得解題的新思路。
(二） 接近聯想
接近聯想是指在相互接近的事物之間形成的聯想。接近聯想是從已知探索未知的有力武器。化學元素週期表的發現便是有力的例證，在數學教學中我們要培養學生學會觀察問題的條件和結論，聯想到與之內容相近的有關知識，從而發現解決問題的思路。
例3：設(x-3)2+(y-3)2=6，試求
(1)y/x的最大值、最小值；（2）x2+y2最大值、最小值。
：已知的方程代表一個圓Q，如圖2，題中的點M(x,y)均在圓周上，觀察第（1）題中的“y/x”
可以聯想到直線OM 的斜率，
欲求y/x 的極值，就是要求直線OM的斜率的極值，即切線OT1，OT2觀察第（2）題中的”x2+y2”,可以聯想到距離公式，而x2+y2的極值就是OQ與圓Q的交點p1、p2到原點O的距離。因此，兩個問題都不難解決。
說明：此題運用接近聯想把相互接近的式子巧妙地聯繫在一起，再找出解題方法。
（三）對比聯想
對比聯想亦稱相反聯想。是指具有相反特徵的事物或相互對立的事物之間所形成的聯想。在平時的教學中，對比聯想的事例比比皆是，如在指數函數與對數函數的教學中，它們的定義域和值域、圖象和性質，通過對比產生聯想，有助於學生的學習和培養對比聯想能力。
例4：已知x,y,z R ,x+ =y+ =z+
求證：x=y=z
：本題條件是一個連等式，可化簡得到一個三元方程組
x2y+x=xyz+y
y2z+y=xyz+z
z2x+z=xyz+x
三式相加得等式x2y+y2z+z2x=3xyz①
聯想到不等式x2y+y2z+z2x 3
即x2y+y2z+z2x 3xyz②
比較①式和②會發現當且僅當x=y=z時等式成立。
說明：運用對比聯想（等式和不等式）解題可起到意想不到的效果。
（四）因果聯想
因果聯想是從某一事物出現某種現象，從而聯想到它們之間的因果關係的一種思維方法。
（五）發散聯想
發散聯想就是在接觸某一事物時產生豐富的聯想，將思維向更廣闊的空間，得出更豐富的結論。我們在講解教材中的概念、法則、公式、例題時，應引導學生從不同的方面，不同的角度去聯想，培養學生一題多解的發散思維能力。
如（ab）n=anbn,則(a1a2……an)n=?
(a+b)2=a2+2ab+b2,則（a1+a2+……+an）2=?
例5．如圖正方形ABCD中，E爲BC上任意一點，∟EAD的平分線交CD於F，求證：BE+DE=AE
：由已知條件和結論可聯想到將BE、DF放在一起，這樣可將△ADF旋轉到如圖△ABF，的位置。
：由題設中的直角三角形較多，
可聯想到用面積來探索解題思路，
由S△ABE+ S△AECF+S△ADF=S正ABCD可得。
：因條件中有角相等及直角關係，還聯想到三角函數來解，設正方形ABCD邊長爲a，∠DAF=θ,
則BE=a tan( ),DF=a tan ,
∴BE+DF=a cot2 +a tan
=a.( + )
=a. =
而AE= = , ∴BE+DF=AE
說明：發散聯想思維是一種很重要的思維能力，它能導致許多科學發展創造，如：飛機、潛艇等。
四、培養學生聯想能力的做法
聯想能力的提高是改善學生思維品
質的可靠保證，在平時的教學中不只是注重課本知識，更注重培養學生能力。一方面,因爲聯想往往要利用頭腦中已有知識及解題方法，去探索新問題的解題途徑，所以學生不僅要理解基礎知識，而且還必須通過親自體驗，即通過例題習題來鞏固，形成一種思想上的飛躍，以建構自己的知識網，這樣才能舉一反三，產生聯想 。另一方面，在平時教學中不能拘泥於簡單的“做”，聯想是有條件的，是在對基礎知識熟練掌握及運用的基礎上，進行思考、反省、是高級智力活動，過度的講與練，會剝奪學生獨立思考、自由發揮的機會，產生負面效應，應講究一個“度”。
例6：設0＜x＜1,0＜y＜1,求證: + + +
：觀察不等式左邊的特徵，
聯想到幾何中兩點的距離公式，
可將問題轉化爲正方形OABC 內點p(x,y)
到點A，B，C，O的距離之和不小於2 。（如圖）
即︱OP︱+︱BP︱+︱PA︱+︱PC︱≥︱OC︱+︱AB︱=2
：觀察不等式左邊每項被開方數都是兩個正數，故而聯想到基本不等式：a2+b2≥(a+b)2/2 (a＞0,b＞0)
原不等式左邊≥ (x+y)+ (1-x+y)+ (x+1-y)+ (1-x+y)
即左邊≥2
：觀察不等式左邊各項特徵 ，聯想到複數模的性質，設Z1=X+Yi，Z2=（1-X）+Yi，Z3=x+(1-y)i,Z4=(1-x)+(1-y)i,
所以原不等式左邊也轉化爲 ｜Z1｜+｜Z 2｜+｜Z 3｜+｜Z 4｜≥｜Z 1+ Z 2+ Z 3+ Z 4｜=｜2+2i｜=2
還可以聯想到正弦、餘弦的三角函數，函數的極值等等，這樣即複習了代數幾何知識，又培養學生聯想思維能力。
例7：是否存在這樣的二次函數f(x)=ax2+bx+c,使它的圖象過點M(-1,0)且滿足條件對一切切實實x∈R都有x≤f(x) ≤ (1+x)
:單從結構上聯想，就近掛靠基本不等式及其變形，直接建立它與ab≤( )2≤ （a,b∈R）的聯繫，設a=1,b=x,所以f(x)=( )2= x2+ x+ ,且過點（-1，0），合乎題意，還可以構造例題：是否存在這樣的二次函數其過點（-n ,0）,且對一切實數x滿足nx≤f(x)≤ (n +x ).
說明，一道好的數學題字裏行間無不散發着大量信息，由此展開豐富的聯想，大膽的創新，直至關鍵的突破。
例8:設x∈,求證cscx-cotx＞ -1
由 ,1聯想等腰直角三角形,不仿構造一個等腰直角三角形來研究.
作RT△ABC,令∠C==1在AC上取一點D,設∠CDB=X,則BD=cscx,CD=cotx,AD=1-cotx利用AD+DB≥AB=
可得cscx-cotx≥ -1
說明:在教學中啓發學生通過敏銳的觀察、豐富的聯想,構造數學模型解題。
總之，在教學中培養學生的聯想能力要有一個過程，要體現層次，要充分讓學生思考，教師加以積極的引導，鼓勵他們聯想，而不應將解題思路、定理結論等強加給學生。這樣才能更好地培養學生的聯想能力，提高他們分析問題、解決問題的能力。
下面是我在平時數學教學中一個關於培養學生聯想能力的教學案例。
課題：三角函數的解題技巧
在解三角函數的具體問題時，我們常需要通過豐富的聯想、靈活的構思、創造性的思維等能力構造數學模型來解決問題，因此在平時教學中我常設計這樣的習題課，讓學生積極想象，找出解題思維。
例1：若0＜β＜α＜ ，求證α-β＜tanα-tanβ
通過此題，學生熱烈討論後（討論了許多思路都行不能）教師可適當提示，最後總結出用單位圓中的三角函數線求解。
例2：在△ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c,C-A=90。
求證：sinA:sinB:sinC的值.有些同學很快由a:b:c=sinA:sinB:sinC
可如何求 a:b:c呢？又由C-A=90。，聯想到相似三角形，根據相似三角形性質及勾股定理來求出三邊之比。（△ABC～△CBD）
例3：設m是給定的非零常數，f(x)定義在R上，且對任意x。，有f(x+m)=
求證：f(x)爲周期函數、並求其週期。
此題屬於抽象函數題較難，同學們討論分析的時間也最長。最後在教師的指導下，由f(x)爲周期函數聯想到三角函數，再由條件f(x+m)=
的結構聯想到正切公式tan(x+ )= 因爲tanx的週期是π，恰爲π/4的4倍，因此同學生們猜想f(x)的周期有可能爲4m，有些同學並給出如下證法：
f(x+m)=
f(x+２m)=f(x+m+m)=-
f(x+3m)=f(x+2m+m)=
f(x+4m)=f(x+3m+m)=f(x)
所以f(x)是周期函數，其週期爲4m。
通過上述例子的分析學生對抽象函數的問題就有了比較好的思考途徑。接着給出下列問題讓學生思考：
設f(x)是定義在R上的函數，對於任意x1,x2∈（0， ）。都有f(x1+x2)=f(x1)* f(x2)求f( )和f( ).
並讓學生考慮，根據下面所列函數的性質，聯想它們可能對應哪些初等函數（1）f(xy)=f(x)f(y),(2)f(x+y)=f(x)+f(y),
(3)f(x-y)=f(x)-f(y),這樣幾種常見的函數的性質聯繫起來了。
在教學中多舉例讓學生進行合理聯想，使學生養成愛動腦筋，積極主動發現問題的習慣，對學好數學培養數學思維能力起到積極的推動作用。
五、實踐體會
當然，在教學實踐中我深深之體會到，要提高學生的聯想能力還存在許多困難，因爲：① 學生聯想意識不強，未養成愛聯想的習慣。②學生基礎知識掌握得不牢固，無想可聯。③有些學生思維活潑，可受較害羞、性格內向、想了不敢說且不敢繼續想等心理的影響。我將在今後的工作學習中進一步提高自己，努力發展學生聯想能力。