引言
在高中數學課程內容中，數列作爲離散函數的典型代表之一，不僅在高中數學中具有重要位置，而且，在現實生活中有着非常廣泛的作用，同時，數列的教學也是培養觀察、分析、歸納、猜想、邏輯推理以及運用數學知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑。因而，研究數列的教學設計可以洞察高中數學教學設計的一般規律，進而在高中數學教學研究的理論與實踐之間架起一座更爲堅實的橋樑。
1．新理念下數列教學設計的內容
按通常的觀念，教學設計是指運用系統方法，將學習理論與教學理論的原理轉換成對教學資料和教學活動的具體計劃的系統化過程。教學設計主要解決了“教什麼”、“如何教”、“教的如何”的問題，即教學設計是以設計解決教學問題的方法和步驟，形成教學方案，並對方案實施後的教學效果做出價值判斷的規劃過程和操作程序，其目的是優化教學過程，提高教學效果，創造更加合理高效的教學。
1.1 知識結構
數列這一章應主要包括一般的數列、等差數列、等比數列以及數列的應用四部分，重點是等差數列以及等比數列這兩部分。數列這一部分主要是數列的概念、特點、分類以及數列的通項公式；等差數列和等比數列這兩部分內容主要介紹了兩類特殊數列的概念、性質、通項公式以及數列的前 n 項和公式；數列的應用除了滲透在等差與等比數列內賓的堆放物品總數的計算以及產品規格設計的某些問題外，重點是新理念下研究性學習專題，即數列在分期付款中的應用以及儲蓄問題。
1.2 數學概念
數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式，它的定義方式有描述性的，指明外種延的，有種概念加類差等方式。一個數學概念需要記住名稱，敘述出本質屬性，體會出所涉及的範圍，並應用概念準確進行判斷。數列、等差數列、等比數列、通項公式等都屬於數學概念，而且都屬於陳述性概念，在設計這些概念的教學時，教師要注意向同學表明這些定義所揭露的概念的特點、本質，因爲這些概念既是後續學習相應公式以及性質的基礎，更是同學們準確解題的依據。
1.3 數學公式
公式在一定的範圍內具有普遍適用性，因而也具有抽象性，公式中的字母代表一定範圍內的無窮多個數。有的學生在學習公式時，可以在短時間內掌握，而有的學生卻要反來複去地體會，才能跳出千變萬化的數字關係的泥堆裏。在數列這一章主要涉及到等差數列的通項公式，等差數列前 n 項和公式及其變形公式，等比數列通項公式，等比數列前 n 項和公式及其變形公式。要使同學能牢固記住並熟練應用這些公式就必須讓他們懂得公式的來龍去脈，掌握其推導思想及過程。在這一章有很多的變形公式，因此，教師要明確告訴學生哪個公式適用於哪種情形，以使解題變得簡便易行。
1.4 數學方法
數列這一章蘊含着多種數學思想及方法，如函數思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學本身也包含着豐富的數學方法，掌握這些思想方法不僅可以增進對數列概念、公式的理解，而且運用數學思想方法解決問題的過程，往往能誘發知識的遷移，使學生產生舉一反三、融會貫通的解決多數列問題。在這一章主要用到了以下幾中數學方法：
（1）不完全歸納法 不完全歸納法不但可以培養學生的數學直觀，而且可以幫助學生有效的解決問題，在等差數列以及等比數列通項公式推導的過程就用到了不完全歸納法。
（2）倒敘相加法 等差數列前n項和公式的推導過程中，就根據等差數列的特點，很好的應用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。
（3）錯位相減法 錯位相減法是另一類數列求和的方法，它主要應用於求和的項之間通過一定的變形可以相互轉化，並且是多個數求和的問題。等比數列的前 n 項和公式的推導就用到了這種思想方法。
（4）函數的思想方法 數列本身就是一個特殊的函數，而且是離散的函數，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數列與等比數列這兩類特殊的數列時，可以將它們看成一個函數，進而運用函數的性質和特點來解決問題。
（5）方程的思想方法 數列這一章涉及了多個關於首項、末項、項數、公差、公比、第 n 項和前 n 項和這些量的數學公式，而公式本身就是一個等式，因此，在求這些數學量的過程中，可將它們看成相應的已知量和未知數，通過公式建立關於求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明瞭，而且簡化了解題過程。
2．新理念下影響教師進行數列教學設計的因素分析
在數學知識體系內部，數列佔據着非常重要的地位，而且在現實生活當中有着具大的應用價值，對學生能力的培養也起到了不可估量的作用，因此教師要重視數列的教學。那麼，在新的理念下，如何進行數列的教學設計才能將知識更好地傳給學生，才能對學生的發展有幫助，纔可以稱得上好的教學設計呢？哪些因素影響了教師進行數列的教學設計呢？爲此筆者從一線優秀數學教師、高中學生以及教材編訂者三個維度進行了調查、研究。
2.1 線優秀教師如何看待數列的教學設計
教師是教學的實施者，是教學設計的實踐者，尤其是優秀的教師，他們積極了大量的教學經驗，因此有絕對充分的發言權，爲此，我採訪了幾位特級和高級教師，現將他們的觀點對比分析如下：
（1）重視教學情境的設置以及教學案例的使用
他們一致認爲要使學生學好數學，首先要培養學生的學習興趣，而恰當的教學情境及教學案例的使用不但能更好的啓發學生，激發學生的學習興趣，而且有助於增強學生的應用意識。
（2）對數列及其相關概念的教學設計說法不一
有的教師覺得應該先舉數列的實例，讓學生自己體會數列特點，組織同學討論，並啓發學生髮現知識，因爲這對於培養學生的數學學習能力，激發和培養學生學習數學的興趣，增強學生的應用意識，增強學生合作、探究的能力都非常有幫助。有的教師則持另一種態度，他們認爲由於時間的原因，可能會減少把知識轉化爲能力的環節，而以教師講解爲主的教學設計則可以在有限的時間內傳授給學生更多的知識，教學效果更好，而且對於學習能力、接受能力差的學生更適合這種風格的教學設計。
（3）對等差數列概念的教學，採用以學生爲中心的教學設計風格更適合學生深刻理解知識
“等差數列”這個概念本身就很形象地描述了它的本質，因此教師應創設恰當的情境，讓學生在這個情境中自覺領會和發現知識的形成過程，在感悟的過程中深刻體會其蘊含的數學思想和方法，理解知識的本質。在教學過程中應組織學生研究、討論，培養學生的合作意識和能力，在合作中發現學習的樂趣，從而提高學生的學習興趣，開發學生智力。
（4）對等差數列通項公式推導的教學設計說法不一
有的教師認爲等差數列通項公式的推導思想非常重要，他不但有助於理解公式，而且在以後的解題中也會用到，但只要通過教師的講解，加以適當的引導，學生便能掌握。而有的.教師則持另一種觀點，他們認爲，等差數列通項公式的推導思想並不是很順理成章，水到渠成的，單純的講解可能對有的學生來說很生澀，因此，有必要在這一教學環節設置適當的情境，啓發與引導學生，這樣才能達到更佳的教學效果。
（5）對等比數列的概念以及通項公式的教學，多種教學設計風格互不排斥
等比數列與等差數列雖然是兩類不同的數列，但是它們在研究方法、性質上都有很多的共通之處。因此，等比數列的教學設計可以採用對比法，即在概念、性質、公式的教學過程當中對比着相應的等差數列的內容進行設計，這也符合心理學中順應教學法。有了等差數列的教學設計基礎，因此有的教師建議可採用類似等差數列相應知識的教學設計法，學生不但可以很容易接受等比數列的內容，還可以加深學生對等差數列的理解，但兩種方法都各有自己的長處，教師可根據個人風格自己進行選擇設計，當然如果將兩種方法結合起來，針對不同的內容進行優化設計，可能會收到更好的效果。
（6）應該在教學設計過程中，適當地向學生介紹數學史的知識
數學史知識的引入不但能激發學生學習數學的興趣，提高他們的數學文化底蘊，而且能讓他們更加懂得有關知識的形成過程，比如實踐應用的需要、知識本身發展的地需要等，從而提高學生的數學應用意識。
2.2 學生期望的數列的教學設計
教學設計的對象是學生，最終的着眼點是爲了學生的發展，因此從學生的角度出發考慮教學設計變得尤其重要。
（1）對於等差數列的概念以及通項公式的教學設計，他們更希望教師能給自己更多的參與空間
比如對於等差數列概念的教學，他們更期望教師能先列舉幾個等差數列的例子，同學思考、講解其特點，找出規律，從而總結出什麼是等差數列。因爲他們認爲，高中生的他們已經初步具備了一定的數學思維，已經學會了用思考、分析、理解去解決問題這種求知的方式不僅能讓他們體會知識的形成過程，能深刻的理解與記憶知識，而且能夠提高他們分析問題、解決問題，以及戰勝困難的能力。
（2）不同數學水平的學生，對等比數列教學設計的看法不同
對於學習中等偏上的學生，他們希望教師能夠通過與等差數列相應知識來進行對比教學，這不但有助於他們深入的理解等差數列的性質特點，而且能夠使他們深刻理解與掌握等比數列的知識；但對於成績落後的學生來說，他們覺得這種對比教學設計法反而會讓他們感覺更加迷惑，容易混淆知識點，因此他們更希望能採用類似等差數列相應知識的教學法進行設計。
（3）數學史知識的引入頗受學生歡迎
數學史知識的適當引入不但能活躍課堂氣氛，調動大家學習的積極性，激發學生學習數學的興趣，使枯燥的數學變得更加生動有趣，而且有助於他們更好的接納新知識因此 89.5%的學生都希望能在課堂上聽到教師講述有關的數學史知識。
2.3 教材編訂者對數列教學設計的關注點
教材編訂者是對教材理念、教材設計思想的最權威把握，而教師要進行教學設計首先要把握教材，要把握教材就要懂得教材的理念，因此教材編訂者的意見就顯得尤爲重要。
（1）注重數學的基礎知識教學
知識是數學學科的基礎與靈魂所在，因此“總的要求是使學生在正確理解數列這一概念的基礎上，掌握等差數列、等比數列的通項公式與求和公式，能夠熟練地解決有關問題”。那麼在講解等差數列的性質時，教師要將等差數列的六條性質全部向學生交待清楚，並要求他們牢固掌握。
（2）注重對學生的啓發教育
任何事物的產生都是有一定緣由的，數學知識也不例外，因此在教學過程中，應該儘可能向學生再現知識的發生過程。比如說等差數列概念的教學，爲了讓學生明白什麼是等差數列，爲什麼要將等差數列這樣定義，教師就可以在教學過程中先列舉幾個等差數列的例子，讓學生觀察、比較，概括共同規律，再由學生嘗試說出等差數列的定義。這樣讓學生參與的課堂將是生動的課堂，而且很恰當地幫學生建立了知識體系，並幫助他們進行知識的記憶。
（3）注重知識的應用
新教材中加入了等差與等比數列研究性學習這一部分內容，目的在於教會學生將知識學以致用，用理論指導實踐，而且培養了他們的合作意識、研究精神，這也是新理念所倡導的。
3．對數列教學設計的實踐分析
實踐是最好的問題發源地，何種類型的教學設計更容易讓學生接受，更易知識的傳授，對學生的發展有幫助，要通過實踐才能得以驗證，爲此我在長春市第二實驗中學旁觀了“數列”這一章的教學過程，給了我很大的啓發。
3.1 不存在“萬能”的教學設計
對數列這一章的教學設計，不存在完全以“教”爲中心，或以“學”爲中心的極端教學設計風格。兩種風格的教學設計，並不是是我非你，是你則非我的完全對立關係，並不是一定要肯定一方，而否定另一方，採用哪種模式的教學設計，要針對不同的教學內容進行選擇。比如等差數列前 n 項和公式的推導課，我認真聽取了二實驗兩位新教師對這一節課不同的詮釋方法，第一位教師是基於以教師的教爲中心的風格，第二位教師是基於以學生的學爲中心，二者收到的效果也大相徑庭。第一位教師以講解爲主，又由於本身能力所限，不能對學生進行很好的啓發、誘導，因此很難將同學們的思路引到正確的路線上來，以至於同學們表現得不夠積極，而且公式的推導也因爲同學們的無法配合而顯得過於生硬、艱難；第二位教師則將公式推導與梯形面積公式的證明聯繫起來，創設了恰當的教學情境，使公式的推導顯得簡單而水道渠成，而且同學們表現得也非常積極，教學效果非常好。但是對於等比數列的概念的教學，兩種風格的教學設計若經過教師認真的思考，斟酌，都會是一個好的教學設計。
3.2 教學設計要關注學生的需要
教學設計最終是爲學生服務的，而學生原有認知水平，認知結構，以及接受能力都會因人而異，對於水平相對弱一些的學生，如果把課堂教給他們，讓他們自己去探索、發現知識可能會有一些困難，因此，這於這樣的學生更適合傳統的講授式教學，這不但能讓他們在儘可短的時間內掌握最基本的知識，而且通過強化，能幫助他們對知識的記憶。市二實驗的學生接受能力不能算最優秀的，因此他們的老師在習題課教學過程中，往往將簡單易處理的問題留給學生討論，而有一定難度的題，則由教師進行講解，做到了以從學生需要出了，收到了良好的教學效果。
3.3 教學設計還要尊重教師的教學習慣
對於有教學經驗的老教師，他們經過多年的摸索、嘗試，反思，已經沉澱出自己對特定知識的固有想法，而且這是被實踐證明了的有效的方法。比如對於等差數的概念教學，某位特級教師就採用了以教爲中心的教學風格：根據前一節所學知識（數列的通項公式），爲了恰當地複習和引入本節課，也就是從承上啓下的角度，在上課開始給出這樣的一個題目：
已知數列{an}的通項公式是：an = 3n-2
（1）求a1，a2，a3，a4；
（2）求a2-a1，a3-a2，a4-a3，並由這三個式的值，猜想對任意的正整數n，都有an+1-an 值是否爲同一個常數？如果是給出證明；如果不是，說明理由。
讓學生從這個具體的題目中，初步體會到等差數列的本質特徵，即“等差”。在這個短小精悍的情境設置當中學生既鞏固到了上節課所學的內容，更重要的是比較輕鬆地感悟到等差數列的本質。
總之，進行數列的教學設計，不存在永恆的教學設計模式，選擇哪種教學設計風格，以什麼樣的形式呈現給學生，既要考慮到教學內容的特點，又要考慮到學生的因素，當然還與教師的教學風格有關，要綜合多種因素，因情況而定，但好的教學設計就是既達到知識的傳授，又能對學生的能力發展有一定的促進作用。