一、導數與微分
1、函數f(x)在點x0處可導=>函數在該點處連續;函數f(x)在點x0處連續≠>在該點可導。即函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件而不是充分條件。
2、導數存在的充分必要條件函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數f-′(x0)右導數f+′(x0)存在相等。
3、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導;函數f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。
4、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。
二、函數與極限
1、函數的極限
定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在並且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。
一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。
2、數列的極限定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時收斂於兩個不同的極限。
定理(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂，那麼數列{xn}一定有界。
如果數列{xn}無界，那麼數列{xn}一定發散;但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數列有界但是發散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。
定理(收斂數列與其子數列的關係)如果數列{xn}收斂於a，那麼它的任一子數列也收斂於a.如果數列{xn}有兩個子數列收斂於不同的極限，那麼數列{xn}是發散的，如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數列{x2k-1}收斂於1，{xnk}收斂於-1，{xn}卻是發散的;同時一個發散的數列的'子數列也有可能是收斂的。
3、函數的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1爲下界;如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱爲上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。
4、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那麼limxn=a，對於函數該準則也成立。
單調有界數列必有極限。
5、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小;有界函數與無窮小的乘積是無窮小;常數與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那麼a≥b。
6、函數的連續性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等於它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那麼就稱函數f(x)在點x0處連續。
不連續情形：1、在點x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續或間斷。
如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0爲函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱爲跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱爲第二類間斷點(無窮間斷點和震盪間斷點)。
定理有限個在某點連續的函數的和、積、商(分母不爲0)是個在該點連續的函數。
定理如果函數f(x)在區間Ix上單調增加或減少且連續，那麼它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續。反三角函數在他們的定義域內都是連續的。
定理(最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區間內連續或函數在閉區間上有間斷點，那麼函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)。
推論在閉區間上連續的函數必取得介於最大值M與最小值m之間的任何值。