小數教材體系包括兩條主線:其一數學知識;其二,數學思想。教者只要看教材,就能明確前者;後者有掌握小學數學思想方法,才能明確爲什麼要這樣寫,才能從整體上、本質去理解教材,也才能科學地、靈活地設計教學方法,提高課堂教學效率。基於《義務教育數學課程標準(2011年版)》,提出“四基”的理念,基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。什麼是基本思想?有哪些基本思想?小學數學每冊教材每一課時,都有滲透哪些基本思想?我們努力作一些梳理,便於今後每位數學教師都能有參照。因爲使學生獲得數學的基本思想是數學課程的重要目標。
我們知道,數學課程固然應該教會學生許多必要的數學知識,但是絕不僅僅以教會數學知識爲目標,更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中獲得數學思想。數學思想是數學科學發生、發展的根本,是探索研究數學所依賴的基礎,也是數學課程教學的精髓。數學思想的內涵十分豐富,也有學者通俗地把“數學思想”說成“將具體的數學知識都忘掉以後剩下的東西”。《課程標準(2011年版)》在這裏的措詞爲數學的“基本思想”,而不是數學的“基本思想方法”,是因爲後者更多地涉及一些有程序、步驟、路徑的可操作的“方法”,如換元法、代入法、配方法等,它們屬於更爲具體的層次。這裏在“思想”的前面加了“基本”二字,一方面強調其重要;另一方面也希望控制其數量——基本思想不要太多了。《課程標準(2011年版)》中所說的“數學的基本思想”主要指:數學抽象的思想、數學推理的思想、數學建模的思想。
數學抽象的思想:抽象是對同類事物抽取其共同的本質屬性或特徵,捨去其非本質的屬性或特徵的思維過程。人們在思維中,抽象過程是通過一系列的比較和區分、捨棄和收括的思維操作實現的。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區分開始的。所謂比較,就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點;而所謂區分,則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下業,利用它們把對象分爲不同的類。然後再進行捨棄與收括,捨棄是指在思維中不考慮對象的某些性質,收括則是指把對象的我們所需要的性質固定下來,並用詞表達出來。這就形成了抽象的概念,同時也就形成了表示這個概念的詞,於是完成了一個抽象過程。
數學推理的思想:推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據的判斷叫前提,根據前提所得到的判斷叫結論。推理分爲兩種形式:演繹推理和合情推理。演繹推理是根據一般性的真命題(或邏輯規則)推出特殊性命題的推理。演繹推理的特徵是:當前提爲真時,結論必然爲真。演繹推理的常用形式有:三段論、選言推理、假言推理、關係推理等。合情推理是從已有的事實出發,憑藉經驗和直覺,通過歸納和類比等推測某些結果。合情推理的常用形式有:歸納推理和類比推理。當前提爲真時,合情推理所得的結論可能爲真也可能爲假。
數學建模的思想:數學建模就是指用數學的語言描述實際現象,通過設計數學方法,最終解決實際問題的整個過程。在現實中爲了要解決實際問題,在實際問題與數學之間架設一座方便之橋。並用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特徵、數量關係和空間形式的一種數學結構。通過數學的計算、分析、找到解決問題的有效途徑。數學模型的主要表現形式是數學符號表達式和圖表,因而它與符號化思想有很多相通之處,同樣具有普遍的意義。不過,也有很多數學家對數學模型的理解似乎更注重數學的應用性,即把數學模型描述爲特定的事物系統的數學關係結構。
數學模型是運用數學的語言和工具,對現實世界的一些信息進行適當的簡化,經過推理和運算,對相應的數據進行分析、預測、決策和控制,並且要經過實踐的檢驗。如果檢驗的結果是正確的,便可以指導我們的實踐。
基於上述數學基本思想又可以演變、派生、發展出一些思想,主要體現如下:
一、由“數學抽象的思想”派生出來的有:分類的思想、集合的思想、數學形結合的思想,變中不變的思想、符號表示的思想、對稱的思想、對應的思想、有限與無限的思想等。
二、由“數學推理的思想”派生出來的有:歸納的思想、演繹的思想、公理化思想、轉換化歸的思想、聯想類比的思想、逐步逼近的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等。
三、由“數學建模的思想”派生出來的有:簡化的思想、量化的思想、函數的思想、方程的思想、優化的思想、隨機的思想、抽樣統計的思想等。
對各個數學思想的內涵界定
1、分類的思想:所謂分類,就是根據對象的某一屬性特徵把它們不重複不遺漏地劃分爲若干類別。分類的思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點,將數學研究對象分爲不同種類的一種數學思想。分類以比較爲基礎,比較是分類的前提,分類是比較的結果。
所謂數學分類討論方法,就是將數學對象分成幾類,分別進行討論來解決問題的一種數學方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性, 能訓練人的思維條理性和概括性。分類思想可不象一般的數學知識那樣,通過幾節課的教學就可讓學生掌握應用。而是要根據學生的年齡特徵,學生在學習的各階段的認知水平,逐步滲透,螺旋上升,不斷的豐富自身的內涵,從而達到利用數學分類討論方法來解決問題的目的。
2、集合的思想:把指定的具有某種性質的事物看作一個整體,就是一個集合(簡稱集),其中每個事物叫做該集合的元素(簡稱元)。給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個事物是否屬於這個集合,是明確的。如“學習成績好的同學”不能構成一個集合,因爲構成它的元素是不確定的;而“語文和數學的平均成績在90分及以上的同學”就是一個集合。一個給定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重複出現。只要兩個集合的元素完全相同,就說這兩個集合相等。
集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來,並用花括號“{}”括起來表示集合的方法。描述法就是在花括號內寫出規定這個集合元素的特定性質來表示集合的方法。列舉法的侷限性在於當集合的元素過多或者有無限多個時,很難把所有的元素一一列舉出來,這時描述法便體現出了優越性。此外,有時也可以用封閉的曲線(文恩圖)來直觀地表示集合及集合間的關係,曲線的內部表示集合的所有元素。