公共選擇是***共和的社會基礎，這個源自古希臘城邦，已有數千年歷史傳統的信念，成爲現代社會不可動搖的基石。然而，1785年Condorcet發現了著名的“投票悖論”題目。1951年Kenneth Joseph Arrow則在其《社會選擇與個人價值》一文中證實了“不可能定理”，指出在三個或三個以上的備選對象中，社會成員可以自由地按任何方式對它們排序，因此，沒有任何一種投票方法能解決“投票悖論”題目。這一結論引發了一系列的討論，由於它直接動搖了人類數千年來公共選擇的理論基礎，更動搖了思想啓蒙運動的根本信念。爲此，Amartya Sen在1970年發表了《集體選擇與社會福利》，從放寬效用的可度量性原則出發，證實了“投票悖論”的可解決性，並指出：“假如個人效用是可度量的，則Arrow不可能定理不再成立；假如個人效用不可度量，則Arrow不可能定理什麼也沒有說”。這就是“投票悖論”的現實狀態。對於這個題目，本文將進行限於公共選擇方面的討論，對“投票悖論”進行證實，同時還證實只要在公道的簡單偏好連續性與可判定性條件下， “投票悖論”對公共選擇的結果沒有影響。
一、“投票悖論”的存在
“投票悖論”的描述：給定3個備選項A、B、C，給定一個決策集共有n個決策者，當決策集中各決策者對A、B、C的偏好分佈均衡時，多數決策原則不能得出唯一偏好佔優的集體決策結果。其中，偏好也稱選擇性偏好，反映了決策者對備選項的喜好程度，此程度決定了決策者對備選項的排序。
上面的表述還可以用一個例子具體化：假設以爲A最優的決策者佔決策者總數的1／3，且A的擁護者又分爲兩派，一派佔A的全部擁護者的2／3，他們以爲B優於c，另一派佔A的全部擁護者的1／3，他們以爲C優於B；以爲B最優的決策者佔決策者總數的1／3，且B的擁護者又分爲兩派，一派佔B的全部擁護者的2／3，他們以爲C優於A，另一派佔B的全部擁護者的1／3，他們以爲A優於C；以爲C最優的決策者佔決策者總數的1／3，且C的擁護者又分爲兩派，一派佔C的全部擁護者的2／3，他們以爲A優於B，另一派佔C的全部擁護者的1／3，他們以爲B優於A。在這一實例中，每一個決策者都是理性的，具有完全的偏好。但是，決策集作爲一個整體就不具有完全的偏好，而且在多數原則下，決策集的偏好與決策路徑相關。事實上，先用A與B相比，總有A優於B，再用A與C比，則C優於A，於是C勝出。可以看出，沒有任何一個備選項可以連勝兩場。在兩兩比較的情況下，它們構成了一個環，這種“環”就是“投票悖論”的基礎。
對“投票悖論”進行進一步分析，我們引進偏好均衡與偏好佔優的概念。偏好均衡是指決策者對備選項的優劣沒有看法，以爲備選項完全一致，這一偏好狀態對決策個人是嚴格禁止的。偏好佔優是指決策者以爲兩個備選項有優劣之分，並能判定其優劣性。“投票悖論”表明，個人的偏好佔優不即是集體偏好佔優。這個結論是顯然的，由於在上述的實例中存在着偏好的均勻分佈，不存在一種集體偏好佔優。所以嚴格從多數性原則來看，“投票悖論”始終存在着可能性。而且與Arrow的結論不同，在兩個備選項存在的條件下，只要存在偶數決策者，則多數原則下的“投票悖論”仍然存在。這就是一般決策機構之所以總是要求人數爲奇數的理論基礎。因此，在僅限於公共選擇的偏好性討論中，兩個備選項與多個備選項是一樣的，都可能發生決策者個人全部具有偏好佔優而決策集不具有偏好佔優的情況。即在簡單多數的原則下，集體偏好均衡始終存在着可能性。
二、選擇偏好的可測度性影響