時間和空間的度量
摘要
本文試圖解決時空的度量問題上存在的邏輯循環問題。在時空的拓撲概念的基礎上，先在無度量概念的條件下給出慣性運動的概念，然後從“慣性運動是勻速直線的”定義出發來建立時間和空間的度量。
關鍵詞：時間，空間，時間的度量，空間的度量，拓撲空間，度量空間。
眾所周知，時空的度量問題存在邏輯循環的問題。
倪光炯箸“近代物理”p102指出：“。。。人們還要問：在空間-時間座標系未有定義之前，何來‘速度’概念？又怎能在實際上測量‘速度’？這就是説，用光速不變去定義空時座標又陷入了邏輯循環。”
本文認為時空是物質存在的根本形式.。首先給出的是時空的拓撲概念，是第一性的。而度量概念則是第二性的，是一個需要加以定義且可以給出不同定義的概念。現實空間的直線決非一個顯然的，無需定義的概念。
本文試圖在時空的拓撲概念的基礎上，先在無度量概念的條件下給出慣性運動的概念，然後從“慣性運動是勻速直線的”定義出發來建立時間和空間的度量。
一. 時間和空間的拓撲概念
時空是物質存在的根本形式。當我們感覺到物質存在的同時也就感覺到物體間的相互鄰接關係，以及在同一地點事件發生的先後次序，即有了時空的拓撲概念。我們可以利用一系列鄰接關係不變的質點系來建立時空的拓撲幾何學。我們認為實踐證明空間是三維的，由三條開曲線的拓撲乘積所夠成，即與 R3同胚，而時間則是一維的開曲線流型，即為 R1。
下面我們進一步研究時空度量性質。我們的出發點是：我們已有了時空的拓撲概念。我們的道路是，也只能是通過運動着的物體，通過物體間的'相互作用來作這進一步的研究。
二．時空的度量問題
首先我們指出，有了時空的拓撲概念，為了表明這種鄰接關係，我們可以任意建立一個座標系，任意給它定義一個度量張量g，將使我們得到時空的度量概念。從數學角度來説是完全可以的，它保留着原有的拓撲性質，從而可以用來描繪這個世界，且可以有無窮多種度量。問題在於怎樣定義距離更好。
眾所周知，人們早已利用剛體建立了空間的度量，利用時鐘或地球相對於太陽的運動（即週期運動）建立了時間的度量。這樣得到的度量概念有明確易懂的物理意義，並對人類的各項活動給予了有力的幫助。然而它的邏輯基礎卻是相當不穩定的。什麼是剛體？什麼是週期運動？這本身就是一個複雜的概念，絕非簡單的第一性的概念。在沒有時空的度量概念之前都是無法明確定義的，因此用它來定義時空的度量顯然是不嚴格的，犯了循環邏輯的錯誤。
下面試圖在已有時空拓撲概念的基礎上，從‘慣性運動是勻速直線的’定義出發來建立時間和空間的度量概念。我們認為這樣建立起來的度量概念和習慣是吻合的。
三．時空度量的建立
首先我們來解決直線的概念。我們試圖用慣性運動是直線運動的定義來定義直線，這首先得定義慣性運動。
定義1. 在宇宙系統內所受合力為０的質點的運動稱為慣性運動，它所描出的點的軌跡稱為直線。即它所觸及的一系列靜止質點構成一條直線。
此定義可簡述為：慣性運動是直線運動。
我們注意到這裏又發生這樣兩個困難。（１）所謂所受合力為０是什麼意思？（２）所謂一系列靜止質點又是什麼意思？因為現在我們還沒有力的概念。下面即來解決這一問題。
我們選取一系列相互鄰接關係不變的質點集G={gi}認為是靜止的，同時也就必然認為它們所受合力為0。即是説，’靜止’和’受力為0’起初是一種認定，但要要求它不至導致矛盾，即要求此定義對所有受力為０的質點成立，因而這種認定就不能是主觀任意的，而是唯一確定的。
另一動質點mi被認為是受力為0的(即同時認為此質點在作慣性運動)，如果它在靜止質點gi處所受作用力和gi相同。在受力為0的質點集中我們選出所有通過(或稱鄰接，觸及)靜止質點gp,gq的質點，記為M0={mj}。動質點mj運動中觸及的所有靜止質點集記為G。我們要判定此質點集是否組成一條直線pq？如果質點集G和G完全相同，則此為一條直線。否則表明我們選定質點集G={gi}為靜止的是不正確的，就得重新修正直到滿足為止。
選擇另外兩點重複上述過程，則可以得到另一條直線。此時如果它們相交還要考慮使其交點唯一確定。以此無窮則得到空間的所有直線。
以上所述可以這樣來理解：無窮多個鄰接關係不變的質點組成一個物體，作為空間座標架。而怎樣判斷其內部無相對運動(即為剛體)呢？這是用牛頓第一定律來判定的。即用無數作慣性運動的質點來測試，均不能發現它內部各點的相對運動和受外力作用而產生的影響。因此説我們是同時建立了直線和牛頓第一定律的上述表達形式——慣性運動是直線運動。以往只不過是依賴直覺將現實空間中的直線看作一個無需説明的顯然概念，而從實踐中得出牛頓第一定律。現在應該説是由於我們這樣定義了直線才使牛頓第一定律可以表達為上述形式，並且實踐證明我們這樣建立的直線概念和習慣是吻合的。
下面我們進一步來解決直線和時間的度量問題。這相對來説是比較簡單的，是一些熟習的方法
定義2. 慣性運動是勻速的。
首先我們對在直線pq上作慣性運動的質點依速度進行分類。兩動質點若過去不曾相遇且以後永不相遇，則説它們的速度相同。對不同的類我們用足標v加以區別,記為mvj 。我們選定一類認為是具有單位速度的，記為M1={m1j}。在直線pq上選擇兩點g0，g1認為其間的距離為一個單位長度1 m。集{m1j}中一質點m10從點g0運動到點g1所用時間認為是一個單位時間，記為1 s 。與此同時集M1中另一質點從點g1 運動到另一點，記為g2，……以此無窮，由此得到直線pq上所有的整數點。類似易得直線上的所有有理點，用數學方法即可得到所有無理點。由此解決了直線的度量問題。
顯然有下述速度相加原理成立。若兩質點的速度分別為V1,V2, 則其相對速度為V2-V1。
這裏我們用到了‘同時’的概念，這是我們沒有考察過的概念。其實這也是反應了一定客觀內容的主觀概念。在此之前我們只有‘在一質點處發生的事件的先後次序’的概念，是第一性的。‘在兩個地放發生的兩件事是同時的’概念是第二性的，是我們主觀認定的。而這種認定為要反映一定的客觀內容就不能是主觀任意的。我們的認定應使任意作慣性運動的物體都是勻速的。不成立則需對我們的認定進行修正直到成立為止。其客觀內容還在於以任意大的速度運動的質點均不能發現誰先誰後的兩件事才能認為是同時的。由此，這樣的認定是唯一確定的。
至此我們解決了時間和直線的度量，利用牛頓第二定律即可解決力的度量問題。並可尋求施力者以判定系統是否受到慣性力的作用。
進而還需統一各直線上的度量。（整個空間統一的時間的度量由前已達解決）這仍然只能從現實的物質關係中去尋求解答。物質不是孤立地存在，還存在於相互作用之中，這裏力和距離是密切相關的。我們可以利用引力場來建立宏觀各直線間的統一的度量。
定義3. 引力場是各向同性的。
細節就不在此贅述了。進而很容易給出剛體和週期運動的定義，從而利用來測量時間和距離。
四. 結束語
我們的探討是純邏輯的、理論性的，為時空度量建立了無邏輯矛盾的理論基礎。而以往有關長度和時間單位的規定只是測量的技術問題。由於我們的定義和習慣是吻合的，所以以往的規定是仍然有效的。而由於剛體的存在及無窮遠點的特性，表明我們這樣建立的度量空間是歐氏度量空間。
我們僅僅利用了牛頓三大定律和萬有引力定律來建立時空的度量，以上表明這對建立時空的度量已足夠了，而物質的其它運動形式(例如光的傳播)決不會影響時空的度量性質,而只能是在已有時空度量性質的基礎上進行研究的物理問題。
因本人知識和水平所限，錯誤和不足之處一定不少，請同志們批評指正。文章是探討性的，有很多地方還需進一步研究討論。若能以此引起爭論和進一步的研究，那將是本文的目的。
參考書目
倪光炯箸《近代物理》
亞歷山大洛夫等箸《數學--它的內容，方法和意義》第三卷 第17章 抽象空間，第18章 拓撲學。科學出版社 1962年