試題一：
一、選擇題
1. 下列各三角函數式中，值爲正數的是 ( )
A. B. C. D.
2. 若=，且爲銳角，則的值等於 ( )
A. B. C. D.
3. 若=，，則的值爲 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
4. 已知，則 ( )
A. B.
C. D.
5. a=，則成立的是 ( )
A. ab>c C. a
6. 函數的定義域是( )
A. B.
C. D.
7. 下面三條結論：①存在實數，使成立;②存在實數，使成立;③若cosacosb=0，則其中正確結論的個數爲( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 函數的值域是 ( )
A. [-2，2] B. [-1，2] C. [-1，1] D. [，2]
9. 函數y=-x·cosx的部分圖象是( )
10. 函數f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A. 非奇非偶函數
B. 僅有最小值的奇函數
C. 僅有最大值的偶函數
D. 既有最大值又有最小值的偶函數
二、填空題
1、函數的最小值等於 並使函數y 取最小值的x的集合爲
2、若函數的圖象關於直線對稱，則
函數的值域爲
3、已知函數
三、解答題
1、已知，求的值
2、在DABC中，已知三邊滿足，試判定三角形的形狀。
試題二：
1、若sinα=-5/13，且α爲第四象限角，tanα=?(文.6)
A.12/5 B.-12/5 C.5/12 D.-5/12
解析：主要考察基礎知識。α是第四象限角，所以cosα爲正，tanα爲負。
cos2α=1-sin2α，且cosα是正數，所以cosα=12/13，tanα=sinα/cosα=-5/12，選D。
2、已知函數f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)
1)求f(x)的最小正週期
2)將f(x)的函數圖像向右平移π/6個單位長度，再向下平移a個單位長度後得到g(x)的函數圖像，且函數g(x)的最大值爲2.
i)求g(x)的解析式
ii)證明存在無窮多互不相同個正整數x0，使得g(x0)>0.
解析：
1)函數的化簡，可以看到兩個式子都跟兩倍角公式有關係，可以考慮先都變成兩倍角。
f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)=10√3*(1/2*sinx)+10*(1/2*(cosx+1))
=5√3sinx+5cosx+5=10*(√3/2*sinx+1/2*cosx)+5
=10*(cosπ/6*sinx+sinπ/6*cosx)+5=10*sin(x+π/6)+5，(根據兩角和公式)
所以f(x)的最小正週期爲2π/ω=2π
2)
i)先是函數圖像的變化問題
左加右減，右移是x變化，右移π/6就是把x變成x-π/6，變成
m(x)=10*sin(x-π/6+π/6)+5=10sinx+5.
上加下減，下移是函數值變化，下移a個單位就是函數值減a，變成
g(x)=10sinx+5-a.因爲g(x)最大值爲2，所以a=13.
g(x)=10sinx-8.
ii)g(x0)>0,也就是10sinx-8>0,sinx>4/5.
也就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得sinx>4/5.
直接求這個不等式的解集比較難，因爲我們不知道sin多少=4/5，但我們可以就近找，可以發現√3/2>4/5，所以我們只需要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得sinx>√3/2即可。
sinx>√3/2的解集爲(π/3+2kπ，2/3π+2kπ)
先看(π/3，2π/3)，區間長度爲π/3>1，也就是這個區間內至少會有一個整數，比如這個區間的整數就是1.
每個(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)的區間長度都是π/3>1，因此對於任意的正整數k，在(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)之間內都存在正整數x0使得g(x)>0，因此就是存在無窮多互不相同個正整數x0，使得g(x0)>0。
難點在於正整數的理解，任何一個區間，只要長度大於1，中間肯定就會有一個整數。
3、若銳角三角形ABC的面積是10√3，AB=5，AC=8，求BC=?(數學.理)
解析：提到面積，很容易想到正弦定理。
正弦定理：a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D還有面積S=1/2*ab*sinC
S=1/2*AB*AC*sinA=10√3,代入數據求得sinA=√3/2,因此是銳角三角形，所以A=π/3，即60度。知道角和兩條夾邊，根據餘弦定理可以求得對邊。
a²=c²+b²-2bccosA，也就是BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cosA=25+64-80*1/2=49
BC=7
4、已知函數f(x)的圖像是由g(x)=cosx經過以下變化得到：g(x)圖像上所有點的縱座標變成原來的2倍(橫座標不變)，再將所得的圖像向右平移π/2個單位。
1)求f(x)的解析式，及對稱軸方程。
2)已知關於x的方程f(x)+g(x)=m在[0，2π)之間存在兩個不同的`解a,b。
i)求實數m的取值範圍
ii)cos(a-b)=2m²/5-1.
解析：
1)還是圖像變化老問題，g(x)圖像上所有點的縱座標變成原來的2倍(橫座標不變)，就是函數值變爲原來的2倍，也就是變成了2cosx。
再將所得的圖像向右平移π/2個單位。左加右減，左右移動x變化，就是x變成x-π/2.於是有f(x)=2cos(x-π/2)，有強迫症的還可以化簡爲f(x)=2cos(x-π/2)=2cos(π/2-x)=2sinx。
f(x)的對稱軸就是f(x)的最大值很最小值，也就是x=π/2+kπ(k是整數)
2)先代入化簡：f(x)+g(x)=m，2sinx+cosx=m，√5sin(x+φ)=m
輔助角公式：
二思考：存在兩個不同的解是什麼意思?如果是一元二次方程有個△可以看，三角函數在區間內有兩個不同的解，從sinx的圖像可以看到，在一個周期內，除了兩個頂點之外，任意的值都存在兩個x與之對應。
所以函數在[0，2π)之間存在兩個不同的解a,b，只需要滿足-√5
ii)cos(a-b)=2m²/5-1
a,b是方程2sinx+cosx=m，也就是√5sin(x+φ)=m的根。繼續從函數圖像上找找a,b的關係。可以看到a.b關於函數的某一條對稱軸對稱。
先求√5sin(x+φ)在[0，2π)之間的對稱軸。sinx的對稱軸爲x=π/2+kπ(k是整數)，sin(x+φ)是x+φ=π/2+kπ(k是整數)。
如果-√5
如果0<=m<√5，那麼a,b就關於x+φ=π/2對稱，同樣得到a+b=2*(π/2-φ)=π-2φ。
接下去就要看轉化了，因爲a，b是√5sin(x+φ)=m的根，所以有√5sin(a+φ)=m，√5sin(b+φ)=m。
轉化1：題乾的左邊轉化
cos(a-b)=cos(a+φ-(b+φ))=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)
轉化2：我們已知條件的轉化
-√5
兩邊正弦得，sin(a+φ)=sin(3π-(b+φ))=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)
兩邊餘弦得，cos(a+φ)=cos(3π-(b+φ))=cos(π-(b+φ))=-cos(b+φ)
0<=m<√5時，同樣可以化簡得到sin(a+φ)=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)
cos(a+φ)=-cos(b+φ)
綜合化簡：
cos(a-b)=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)
=-cos(b+φ)cos(b+φ)+sin(b+φ)sin(b+φ)
=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)
√5sin(b+φ)=m,sin(b+φ)=m/√5,sin²(b+φ)=m²/5
cos²(b+φ)=1-sin²(b+φ)=1-m²/5
所以cos(a-b)=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)=-(1-m²/5)+m²/5=2m²/5-1
證畢。