前不久，筆者開設了一節“用向量法求空間角”的公開課，這節課是針對我校數學組的立項課題——數學的“自明性”研究的一節實驗課。在準備這節課時，筆者深刻分析了這節課中使每個問題環節能夠讓學生“自明”的教學策略，並進行了多次打磨，教學時取得了較爲滿意的效果。現對這節課的教學過程記錄如下，並針對主要環節的設計談談筆者的思考，供同行參考，不足之處，懇請同行給予幫助。
一、課例
1。複習引入——揭示課題的“自明”過程
師：前幾節課我們學習了“用向量法證明平行、垂直”等位置關係問題，其證明的基本過程是（用PPT演示）：
師：哪位同學能“翻譯”一下這個流程圖？
（學生回答略。）
師：在立體幾何中，除了要研究線線、線面、面面平行、垂直等特殊位置關係外，我們還將研究它們的一般位置關係。
師：線與線、線與面、面與面的一般位置關係，可以用怎樣的幾何量來刻畫呢？
：角！
師：對！這節課我們就來學習“用向量法求空間角”。（板書課題）
【設計意圖】通過複習回顧，引出課題，簡捷自然、承上啓下，學生既對用向量法解立體幾何問題的方法步驟進行了複習，同時又對本節課要研究什麼、怎樣研究，能夠自明。
2。建構新知——推導公式的“自明”過程
問題1：怎樣求直線a與b所成的角θ呢？
師：直線a與b所成的角θ在什麼範圍內？
師：這是異面直線所成角的範圍。當a與b平行或重合時，其所成的角呢？
師：若直線a與b的方向向量分別爲a，b，怎麼求角θ呢？
【設計意圖】由於學生對線線角的取值範圍、向量的夾角運算可能有些遺忘，所以探索線線角的計算公式時，是在“問題串”的引導下完成的。通過回顧線線角的取值範圍、線線角與直線方向向量夾角的關係，逐步讓學生對推導公式的方法能夠自明。
問題2：怎樣求直線a與平面α所成的角θ呢？
師：線面角θ的取值範圍如何？
師：直線a與平面α兩個幾何元素都對應怎樣的向量呢？
：直線的方向向量、平面的法向量。
師：好！請同學們根據推導線線角的經驗，推導線面角θ的計算公式吧！
【設計意圖】由於有了探索問題1的經驗，學生對問題2的探索能夠自明，因此教師不必再過多點撥引導。但學生可能對線面角的範圍有遺忘，爲此需要做一下提示。
問題3：怎樣求二面角α—AB—β的平面角θ呢？
師：怎樣作出二面角的平面角θ？
師：同樣，若知道兩條法向量的座標，則可得到類似公式一和公式二的運算公式。
【設計意圖】由於二面角的兩個半平面的法向量的夾角與二面角的平面角之間的關係比較複雜，如果讓學生獨立探索很難使他們自明，爲此，這裏先讓學生討論，然後梳理歸納，從而使學生先對兩角之間的關係能夠自明。而對角θ是銳角還是鈍角的判定，是教學的難點，筆者採用講解法，讓學生在瞭解幾何特徵的基礎上，使他們自明，從而得到計算公式。
3。數學應用——公式運用的“自明”過程
師：如何運用上述三個公式呢？
（1）求EF與CG所成角的餘弦值；
（2）求CG與平面EFC所成角的餘弦值；
（3）求二面角E—FC—D的餘弦值。
師：怎樣解這三個問題？
師：不錯！你很聰明！只要選一個特例就可以了。實際上，我們由線面垂直的判定定理可知，當線與面內的兩條相交直線都垂直時，則線面是垂直的。因此，在上面的方程組中，我們只要選擇其中任意兩個方程，組成不定方程組就行了；若寫三個方程，經過轉化實際還是兩個方程，大家明白了嗎？
：明白！
【設計意圖】對初學者來說，求平面的法向量是一個難點，學生總認爲列出三個方程，一定能夠把法向量求出來，這顯然與“一個平面的法向量有無數條”是矛盾的。因此，即使是聯立三個方程，最終也一定會轉化成兩個方程。這裏教師放手讓學生操作嘗試，直觀感知，再通過討論，進而使學生對問題能夠“自明”。
師：請大家把這個線面角的餘弦值求出來！
師：很好！我們還可以先判定兩條法向量相對於半平面的“進”、“出”關係，進而得到二面角的平面角θ與兩條法向量夾角的關係。在本題中，我們可以把向量m=（1，1，2），n=（0，0，1）的起點都放置到座標原點上，於是可知向量m=（1，1，2）是由“二面角內部”指向“二面角的外部”；向量n=（0，0，1）是由“二面角的外部”指向“二面角的內部”，這就是我們上面說的“一進一出”，因此，θ=〈m，n〉，這樣就有。這種判定方法，大家明白了嗎？
：明白。
【設計意圖】運用平面法向量的進、出關系，判定二面角與法向量夾角的關係，是培養學生空間想象能力的一個很好的過程，機會難得，不能放過！通過操作、演示，讓學生體會、想象，從而使他們通過空間想象對判定方法進一步“自明”。
4。課堂小結——鞏固昇華的.“自明”過程
教師通過兩個層面對本節課進行小結。一是讓學生針對本節課，用自己的語言簡要總結“用向量法求空間角”的方法和步驟，通過幾名學生回答，基本涵蓋了本節課的重點。二是教師進行梳理概括，並進一步強調求平面法向量的方法和判定二面角與法向量夾角關係的方法等。
二、思考
“自明性”是一個哲學概念，就其意義來說，可分爲“原初自明性”和“邏輯自明性”。學生在數學學習中，對有些數學概念和數學原理是“不言而喻、不證自明的”，如“點”、“直線”、“平面”、“集合”等概念，又如幾何中的公理等，它們是最基本的數學概念和數學原理，是人們在長期的生產、生活實踐中抽象概括出來的，不需要給它們下定義或解釋（人們也無法給其下定義和解釋），提到它們，學生也自然會明白它是什麼（樣）、它爲什麼（這樣），學生對它們的理解是完全能夠“自明”的，這就是“原初自明性”。“原初自明性”具有“不精準”、“模糊”的特徵。學生在數學學習中，絕大多數數學知識都是通過觀察、實驗、歸納、推理、抽象、概括等數學思維過程，運用邏輯推理一步一步地獲得“自明”的，學生對它們的理解實際是建立在邏輯推理之上的，這就是“邏輯自明性”。“邏輯自明性”具有“嚴密”、“精準”的特徵。
數學特級教師王志江曾在他的博客中寫道：“我們基於文化形態的數學課程改革就是爲了幫助每個孩子對基礎數學的‘自明性’擁有深刻的洞察，並以此奠定他們的世界觀基礎……”如何使學生對數學的“自明性”擁有深刻的洞察呢？這就需要教師在教學中，把數學知識的“學術形態”轉化爲“教學形態”，即通過問題串的引導，通過邏輯推理，使學生一步一步地對所學的數學新知能夠“自明”。
在設計本節課時，爲了讓學生對所學的數學知識能夠“自明”，筆者作了以下思考：
對新課的引入，需要自然流暢，激趣引疑，這樣可以激發學生的求知慾望，快速調整學習狀態；但也不能爲了“激趣引疑”而設計得華而不實，應該以樸實自然、不冗長爲原則，要凸顯“數學味”。爲此，在上一節課學習的基礎上，筆者設計了一個問題串，以複習回顧的方式，讓學生自己感悟本節課要研究的內容，進而對學習的課題能夠“自明”。
在探索和推導公式的過程中，考慮到學生可能對“空間角”的相關知識出現遺忘，還考慮到某些環節可能是學生學習的難點，於是，筆者在每個公式的推導之前，都根據推導的過程所涉及的相關知識設計了問題串。這些問題，實際上是公式推導過程的“先行組織者”，正是有了“先行組織者”的鋪墊，才使得學生對如何推導公式有了明確的方向，並在一步一步地“自明”中，完成了對公式的建構。以問題串的形式設計“先行組織者”，能夠引導學生積極地參與數學知識的學習，體驗知識的發生、發展過程，瞭解知識的來龍去脈，感受數學公式的合理性與科學性。相信通過這樣的教學，學生對數學知識的理解是“根深蒂固”的，即使將來對數學知識有遺忘，但這種探究數學問題的方法和理念，將會使學生終生受益。
在設計例題時，考慮到學生對公式的應用剛剛起步，要達到靈活運用還需要一個過程，因此，例題的背景選擇了正方體，並根據圖形，分別設計了可以直接運用三個公式的問題。限於課堂教學時間，在分析解答例題時，筆者直接引導學生建立空間直角座標系，“用座標表示向量”（也稱“座標法”）進行求解，迴避了“選擇基底向量”的求解方法（這種方法也稱“基底法”或“向量法”，將在下一節課進行學習）。同時，在解題過程中，對學生容易產生疑惑的地方（如求平面的法向量）充分放手，讓學生自主探究，目的是讓學生在“挫折”中頓悟：“建立兩個方程（即利用兩個垂直關係）就可以求出平面的法向量”。學生在經歷了這樣的“自明”過程以後，不但能夠掌握“求平面法向量”的方法，更對其方法的合理性產生了深刻的邏輯自明。
總之，本節課教學中，筆者在引導學生用數學的思想和方法去觀察、研究和解決問題上做出了努力。我們相信，只要在教學中堅持不懈，學生對數學的“自明性”學習就一定可以實現。